Generalized Method of Moment (GMM): Blundell-Bond Estimator

Estimator Blundell dan Bond yang ditemukan pada tahun 1998 dan sering disebut juga sebagai System GMM (SYS GMM). Estimator dirancang untuk data panel dengan periode waktu yang pendek, satu variabel terikat, model yang melibatkan variabel tenggat terikat, linier, memiliki variabel penjelas endogenous dan predetermined, tidak menghilangkan unobserved individual-specific effect serta dapat diterapkan secara umum.

SYS GMM dikembangkan untuk mengoreksi kelemahan first difference GMM (GMM-diff), yang pada bagian sebelumnya telah diuraikan. Hal ini menyebabkan penjelasan mengenai SYS GMM akan dapat dipahami jika didahului oleh penjelasan mengenai GMM-diff. Bagian ini juga akan menjelaskan bagaimana estimator SYS GMM dapat mengatasi kasus measurement error dan endogenitas dalam variabel penjelas.

GMM-diff. Pertama-tama dijelaskan tentang pendekatan GMM-diff. Untuk penyederhanaan, terdapat model AR (1) dengan unobserved individual-specific effect
Y_it = αy_i,t-1 + η_i + v_it, |α| < 1 (5.3)
untuk i = 1, ..., N dan t = 2, ..., T, dimana η_i + v_it = u_it memiliki struktur komponen standard error.
E [η_i] = 0, E[v_it] = 0, E [v_it η_i] = 0 untuk i = 1, ..., N dan t = 2, ..., T (5.4)
Diasumsikan bahwa transient error tidak berkorelasi secara serial.
E [v_it η_i] = 0 untuk i = 1, ..., N dan s ≠ t (5.5)
dan kondisi awal yi1 predetermined.
E [yi1 v_it] = 0 untuk i = 1, ..., N dan t = 2, ..., T (5.6)
Asumsi-asumsi ini menyatakan m = 0,5 (T - 1) (T - 2) moment restriction.
E [yi,t-s Δv_it] = 0 untuk t = 3, ..., T dan s ≥ 2 (5.7)
yang kemudian secara lebih singkat dapat ditulis:
E(Zit Δv_it) = 0 (5.8)
di mana Zi adalah matriks (T - 2) x m yaitu:

Z= …..(5.9)

dan Δv_it adalah (T - 2) vektor (Δvi3, Δvi4, ..., Δv_it). Ini adalah moment restrictions yang dieksploitasi oleh standar linear GMM-diff sehingga secara tidak langsung menyatakan penggunaan tenggat level t-2 dan periode sebelumnya sebagai instrumen untuk persamaan first differences (Arellano dan Bond, 1991). Hal ini menghasilkan estimator α yang konsisten saat N menuju tidak terhingga dengan T tetap.

Estimator GMM-diff ini ditemukan memiliki sifat-sifat poor finite sample dalam konteks bias dan akurasi pada sejumlah kasus penting. Hal ini hanya akan terjadi saat tenggat level dari suatu seri berkorelasi secara lemah dengan first difference berikutnya sehingga instrumen yang tersedia untuk persamaan first difference menjadi lemah (Blundell dan Bond, 1998). Dalam model AR (1) pada persamaan (5.3), hal ini terjadi sebagai parameter autoregressive (α) yang mendekati 1 atau saat varians dari individual effect (η_i) meningkat relatif terhadap varians transient shock (υ_it).

Simulasi yang dilakukan oleh Blundell dan Bond (1998 dan 2000) menunjukkan bahwa dapat saja terjadi large downward finite sample bias pada estimator GMM-diff terutama saat jumlah periode yang tersedia tidak terlalu panjang. Diperlukan kehati-hatian sebelum menggunakan metode ini untuk suatu seri seperti GDP per kapita dari sampel yang hanya memiliki lima atau enam periode dari rata-rata lima tahun.

SYS GMM. Estimator SYS GMM dikembangkan oleh Arellano dan Bover (1995) dan Blundell dan Bond (1998). Inti dari SYS GMM adalah sistem persamaan yang diestimasi adalah dalam bentuk first difference dan level. Instrumen-instrumen yang digunakan untuk persamaan dalam bentul level adalah lagged first difference dari seri tersebut. Instrumen-instrumen ini merupakan instrumen yang tepat dengan asumsi restriksi kondisi awal.

SYS GMM merupakan estimator yang memiliki sifat superior finite sample. Untuk memperoleh estimator GMM linear yang cocok untuk mengestimasi model-model autoregressive panel data yang persistent, Blundell dan Bond (1998) mempertimbangkan asumsi tambahan yaitu
E [η_iΔyi2] = 0 untuk i = 1, ...,N. (5.10)

Asumsi ini memerlukan restriksi pada kondisi awal y_it. Kondisi (5.10) terjadi jika rata-rata dari seri y_it yang bervariasi menurut individu, tetap konstan menurut periode waktu 1, 2, ..., T untuk tiap individu. Jika dikombinasikan dengan model AR (1) yang telah dikemukakan dalam persamaan (5.3) sampai dengan (5.6) maka asumsi ini akan menghasilkan T-2 kondisi momen linier sebagai berikut
E (uit Δyi,t-1) = 0 untuk i = 1, ..., N dan t = 3, 4, ..., T. (5.11)

Hal ini memungkinkan penggunaan lagged first-differences dari seri sebagai instrumen untuk persamaan dalam bentuk level sebagaimana yang diusulkan oleh Arellano dan Bover (1995).

Tahap selanjutnya adalah membangun suatu estimator GMM yang mengekspolitasi baik restriksi momen (5.7) dan (5.11). Hal ini menggunakan stack System persamaan (T-2) dalam bentuk first differences dan persamaan (T-2) dalam bentuk level, untuk periode 3, ..., T. Matriks instrumen untuk sistem ini dapat ditulis sebagai berikut:
Z =

dimana Z_i diberikan sebagai persamaan (4.9). Himpunan lengkap dari second-order moment condition dengan asumsi (4.10) dapat diekspresikan sebagai
E(Zit Δv_it) = 0 (5.12)
dimana ui (Δvi4, ..., Δv_it, μi3,..., μ_it)

Jadi estimator System GMM (SYS GMM) mengkombinasikan himpunan persamaan standar dalam bentuk first difference dengan tenggat level yang cocok sebagai instrumen, dengan tambahan persamaan dalam bentuk lagged first difference sebagai instrumen. Walaupun level y_it berkorelasi dengan individual specific effect (η_i) pada model (5.3), asumsi (5.10) mensyaratkan bahwa first difference Δy_it tidak berkorelasi dengan η_i sehingga memungkinkan lagged first difference untuk digunakan sebagai instrumen dalam persamaan level.

Blundell dan Bond (1998) juga melaporkan data hasil simulasi Monte Carlo yang membandingkan kinerja finite sample dari GMM-diff dan SYS GMM. Untuk Model AR (1), hal ini menunjukkan bahwa terjadi penurunan yang dramatis dari finite sample bias dan keuntungan dalam hal ketepatan saat mengeksploitasi tambahan kondisi-kondisi momen ini di saat parameter autoregressive diidentifikasi secara lemah oleh persamaan-persamaan first-difference.

Temporary Measurement Error. Bagian sebelumnya telah menjelaskan bagaimana estimator GMM-diff dan SYS GMM dapat memberikan estimasi parameter yang konsisten dalam model-model panel data dengan variabel tenggat penjelas dan unobserved time-invariant individual-specific effect. Saat ini akan dijelaskan bagaimana metode-metode ini dapat memungkinkan transient measurement error. Diingatkan pula bahwa beberapa tambahan permanent measurement error telah dimasukkan pula ke time-invariant individual effect sehingga juga telah dikontrol.

Anggaplah spesifikasi AR (1) ingin diestimasi dalam persamaan (5.3) namun y_it yang sesungguhnya tidak diobservasi melainkan yang diobservasi adalah
y_it = y_it + m_it
untuk i = 1, ..., N dan t = l, ... , T, yaitu measurement errors m_it yang tidak berkorelasi secara serial
E [m_it mis) = 0 untuk i = 1, ..., N dan s ≠ t
dan tidak berkorelasi dengan beberapa realisasi dari disturbance kecuali current disturbance v_it.
E [m_it vis] = 0 untuk i = 1, ..., N dan s ≠ t.

Model empiris yang menggunakan data yang telah diobservasi adalah
y_it = α Dy_it-1 + η₁ + &epsilon;_it |α| < 1 (5.13) &epsilon;(sub>it = v_it + m_it – α m_i,t-1
untuk i = 1, ..., N dan t = 2, ..., T, dan persamaan first-difference adaIah
ΔY_it = αΔy _i,t-1 + Δ&epsilon;_it |α| < 1 (5.14) AF-it = Δv_it + Δm_it - α Δm_i,t-1
untuk i = 1, ..., N dan t = 3, ..., T.

Dalam kasus ini, sangat penting untuk mencatat bahwa variabel penganggu &epsilon;it dalam persamaan (5.13) secara serial berkorelasi, sehingga tenggat dari seri yang dapat diobservasi y_it-2 bukan lagi merupakan instrumen yang tepat untuk persamaan first difference dalam persamaan (5.14). Tanpa asumsi selanjutnya, hal ini berarti tidak ada instrumen yang tersedia untuk persamaan first difference equation dalam periode t = 3, dan setidaknya empat observasi seri waktu pada mis-measured series yang diperlukan untuk mengidentifikasi parameter α. Jika diasumsikan bahwa T > 4, maka akan tersedia kondisi momen berikut:
E [Y_i,t-SΔ&epsilon;_it] = 0 untuk t = 4. ..., T dan s ≥ 3,
yang menyatakan penggunaan tenggat level dari seri yang dapat diobservasi pada t-3 dan periode sebelumnya sebagai variabel instrumen untuk persamaan dalam bentuk first difference.

Asumsikan bahwa E( ) = 0 untuk i = 1, ..., N, sehingga kondisi momen untuk persamaan dalam bentuk level akan tersedia saat tidak terdapat measurement error. First-order moving average serial correlation dalam s_t juga menyatakan bahwa tidak lagi merupakan instrumen yang tepat dalam bentuk level. Asalkan measurement error m_it tidak menyebabkan korelasi di antara observed first-differences dan individual η_i sehingga dapat ditulis:
E [ ] = 0 untuk i = 1, ..., N dan t = 2, .., T.
maka kondisi momen berikut tersedia
E ( ) = 0 untuk i = 1, ..., N dan t = 4, ..., T.

sehingga lagged first-difference yang cocok dari seri yang dapat diobservasi dapat juga digunakan sebagai variabel instrumen untuk persamaan dalam bentuk level dengan measurement error yang tidak berkorelasi secara serial. Seperti yang telah disinggung sebelumnya, kondisi momen tambahan ini akan menjadi sangat penting untuk membangun estimator GMM dengan finite sample properties dalam konteks seri yang sangat persistent.

Subscribe in a reader